معادله یک سیستم دینامیکی، معادله دیفرانسیل معمولی توصیف کننده آن است. در یک سیستم دینامیکی که تاخیر زمانی نیز دارد، معادله سیستم تبدیل به یک معادله دیفرانسیل تاخیری می گردد. مثالهایی از معادله دیفرانسیل تاخیری را می توان در بسیاری از مراجع یافت. همچنین اکنون معلوم شده است که تاخیرها به طور طبیعی قسمتی از فرایندهای دینامیکی هستند که در فیزیک، علوم زیستی و مهندسی وجود دارند. سیستم های حرارتی، دینامیک نرخ رشد جمعیت و پدیده های ارتباطی یا کنترل سیستم ها از راه دور مثالهایی از این فرایندهای تاخیری هستند. حتی اگر تاخیر در دینامیک سیستم ها از راه دور مثالهایی از این فرایندهای تاخیری هستند. حتی اگر تاخیر در دینامیک سیستم موجود نباشد، هنگامیکه سیستم تحت کنترل قرار می گیرد، تاخیر به آن اعمال می گردد مثلا در استفاده از تبدیل کننده های آنالوگ به دیجیتال و دیجیتال به آنالوگ.
1- پایدارسازی:
اگرچه ولترا (Volterra) در دهه سی قرن گذشته در تحقیقات خود در زمینه دینامیک رشد جمعیت و قابلیت کشسانی مفهوم تغیرات تابع انرژی در طول مسیر جواب یک معادله دیفرانسیلی تاخیری را بررسی کرده است، ولی ایده اصلی مطالعه پایداری و پایدارسازی معادلات دیفرانسیل تاخیری به کارهای کراسوفسکی (krasovskii) به دهه شصت بر می گردد. او روش دوم لیاپانوف را در این زمینه تعمیم داد. در دهه های بعد، محققان زیادی با بهره گرفتن از همین روش مسئله پایداری معادلات دیفرانسیل تاخیری را مورد توجه قرار دادند. در دهه نود روش های جدیدی در برخورد با مسئله تاخیر مطرح شد.
مجموعه ای از روشها و مفاهیم در زمینه پایدارسازی معادلات دیفرانسیل تاخیری را می توان در این مقالات یافت. با توجه به این مقالات، سه جهت اصلی در بررسی پایداری و پایدارسازی معادلات دیفرانسیل تاخیری خطی وجود دارد:
1- بررسی پایداری در حوزه فرکانس؛ بسط روش هورویتز به معادلات دیفرانسیل تاخیری، بسط روش مکان هندسی ریشه ها.
2- بررسی در حوزه زمان؛ با بهره گرفتن از روش دوم لیاپانوف تعمیم یافته برای معادلات دیفرانسیل تاخیری و بر مبنای اصل مقایسه.
3- بررسی براساس مقادیر ویژه؛ یک روش آن تعمیم روش جایابی قطب کلاسیک است که در این پایان نامه بررسی می گردد و نیز روشی بر مبنای جایابی طیف محدود.
تمام روش های آورده شده از مدل کردن یک سیستم با تاخیر زمانی به صورت معادلات دیفرانسیل تابعی حاصل می شوند. روش های 2و3 در حوزه فضای حالت هستند.
2. جایابی قطب پیوسته:
در سال 2002 روش جدیدی در پایدارسازی سیستم های خطی تاخیری یک ورودی با فیدبک حالت تحت عنوان «روش جایابی قطب پیوسته» مطرح شده است. این روش برمبنای کنترل ریشه های سمت راست معادله مشخصه و تغییر جزئی آن با تغییر جزئی بهره فیدبک است. با توجه به شباهت این روش با روش جایابی قطب کلاسیک و ویژگی تغییرات جزئی با رابطه مشتق گیری، این روش جایابی قطب پیوسته نامیده می شود.
